若定义一个代数结构，这个结构上面定义一个算法✘，定义某一个数W满足W✘0=1，0为零元，这便是提住所要求的条件。我们只需令这个代数结构由0和1构成。令上面的✘就是普通加法，且满足1+1=0(模n的剩余类群，取n=2)可以知道这代数结构满足题主所要求的条件，而且重要它是无矛盾的。这是一个简单的例子。若不改造数的定义域，如同第一名所说，我们在上面可以推得一些奇怪的矛盾，比如1=2。那么这个东西在我们常用的数学结构里面是矛盾的。私以为，若非得强求在整数环中定义一个数，这个数和零元的运算会是一，那么肯定会取得bug，总能证明不合理。
zero ring用处相当有限，它在环中的性质和空集在集合里的性质相似，很多时候被称为trivial但无疑它必须存在着，不管是根据定义，还是为了与域作区分，这是种无用之用。而i则不同。想想x^2+1=0，实数内没有解，所以我们构造了i。为什么？因为我们需要有解！因为我们要用！数学看似高高在上其实相当土鳖的什么好用用什么，没有条件创造条件也要上。(如果看数学史会发现数学相当的实用主义，而如果看某人的经历，比如欧拉高斯，你会觉得他一拍脑袋灵光一现想出了万古流芳的答案，大手一挥开辟了后来人蜂拥而至的领域，根本不是这回事。)于是就有了复数域，以及很重要的，它是个代数闭域。你要将数学看作是有生命的，在演化的，而不是死板的，这对非专业人士来说并不容易。小学到高中的教育通常是给我们规定世界的，我们轻易的接受的这些规则并遵循它们，确忘却了世界一直在变化这一事实。不知题主什么专业，你身处其中一定感受到它的变化，但对外行人而言可能对它的印象只有课本和新闻水平。人们爱调侃鲁迅写的是通假字我们写就是错别字，也是忽略了历史进程的结果。对于数学，也是一样的，它是人类建造的空中楼阁，却绝非永恒不变。
首先，对于问题的回答是：你当然可以定义一个『与0的乘积等于1』的数，但是这样会使得所有的实数都等于零，于是我们什么有趣的事情都干不了啦。我们先来想一个问题：大家都知道1/2=3/6，可是它们为什么相等呢？这还不简单？因为1/2=0.5=3/6啊！这不是一个好答案，因为根据小数点的定义，0.5=5 imes10^{-1}=5/10，所以我们就需要进一步解释为什么1/2=5/10以及为什么3/6=5/10，于是问题变得更复杂了。正确答案是：因为1 imes6=2 imes3，所以1/2=3/6.切，那我也可以继续问啊！为什么1 imes6=2 imes3就意味着1/2=3/6？因为我们就是这么定义两个分数相等的。不妨先想一想分数到底是怎么回事：一开始我们只有整数，然后我们把所有非零的整数召集起来，对它们说：『你们也可以当分母哟！』于是，我们就有了诸如1/2和3/6这样的分数。然而这个时候我们并没有对这些分数进行任何限制——没人说1/2和3/6就一定相等。
但是光创造数没有用，我们想做运算呀。现在什么规定都没有，那1/2+3/6是啥？？于是人们规定，对于两个分数a/b和c/d，如果ad=bc，那么它们就相等。接着我们就可以定义分数的加法：分母相同的两个分数相加，分母不变，把分子加起来就好了！这样一来，我们就有了可以做运算的分数（有理数）。更重要的是，当我们把原来的每个整数n都当成n/1时，有理数的运算和整数的运算是一致的。这一点很重要。通常情况下，当我们说『整数集合包含1和2』时，不仅意味着1和2都是整数，而且这个『2』必须得是『1+1=2』的那个『2』。也就是说，我们平时使用的『整数』一词，不仅是指那些数字，而且还蕴含了数字之间的关系（即代数结构）。所以，为了保证有理数包含整数，他们的运算必须一致，否则这个『整数』就不是我们通常说的那个『整数』了。有了有理数之后，我们可以把它们扩充为实数。同样地，这里的『扩充』意味着有理数的代数结构不能改变。扩充为实数的方法我这里就不细说了。现在再看之前的问题：如果定义了『与0的乘积等于1』的数会发生什么呢？0=1-1 =a imes0-a imes 0=a imes(0-0)=a imes 0=1.
