因为现实情况下，我们观察到的绝大多数流动现象，其产生的根源是粘性。脱离开粘性去谈流动，你们这样是不行的！I’m angry!
比如，对于无粘流动or欧拉方程而言，所有的绕流都不存在光滑解。原因很简单，无粘流动不可能满足库塔条件。这也就意外着，不加入其他的非物理假设，欧拉方程不适用于绝大多数流动情况。管道流动算是为数不多的欧拉方程可以独立解决的问题
所以，虽然从数学上讲，如果初边值条件给得好，欧拉方程的求解本身是比NS方程简单得多，但是面对真实的物理世界给出的残酷的初边值，直接上欧拉几乎都只有无解一种情况
相对而言，尽管NS方程数值求解需要耗费大量的计算资源，但是它封闭，对能量能进行耗散，求解稳定，而且更符合流体的行为。另外目前为止，对NS方程进行直接数值求解(DNS)的结果都非常好，甚至出现了支持“数值实验”这种以DNS替代真实流体实验的观点，可见NS方程的威力。这种精度和鲁棒性都远非欧拉方程可以比拟
至于说湍流模型的，你们还是有必要先回大学复习一下DNS，LES和RANS的区别
BTW，就算是RANS，那也就是一个模型，也比欧拉方程求解时动不动就要对整个边界层搞模型高明太多了
至于为什么会产生这种性质，还是要从pde的性质来考虑，从扰动的扩散角度来考虑
第一回 楔子
欧拉方程求解之难点在其物理之不自洽性，亦在于数学分析及数值计算之困难。物理上，欧拉方程无粘性，故不自洽。宇宙中不存在理想流体，理想流体乃一近似而已。求解欧拉方程所得解未必合乎物理实际。
第二回 湍动
理想流体可视作雷诺数无穷大之粘性流体。粘性流体遵从N–S方程，若渐次增大方程之雷诺数至无穷大，则N-S方程趋于欧拉方程。粘性巨大之流体若沥青者，难以触发湍流。若减小粘性，即增大雷诺数，情况能有改变。雷诺数增加至某临界值时，情况能有根本变化。若雷诺数比临界值略高一点，则流体对微小扰动稳定，而对振幅于某范围内之扰动，流体可形成有限振幅之振动。相空间中，流体振动可以一环状结构表示(设想单摆，单摆于相空间中之轨迹，乃是一环，振动流体亦然)。若雷诺数继续增大一点，流体会在既有振动上形成频率更高的新振动，在周期较大的振动上叠加了周期较小的振动。此刻，流体在相空间中之轨迹如下图。与环饶了线圈的轮胎类似。
若雷诺数继续增大微小的量，又可形成新的振动，若雷诺数再增大，便会产生更多振动模式。相空间中，相点运动轨迹愈益复杂，新诞生振动之尺度愈益减小。产生新频率所需雷诺数之间隔迅亦速减小。若不同频率振动之周期比为无理数，则相空间中轨迹不闭合。相轨迹不闭合，则运动已失其周期性。自相轨迹上一点出发沿相轨迹走，永不可回归初始点。流动迅速变得复杂与混乱，形成湍流。
第三回 级联
若雷诺数继续增大微小的量，又可形成新的振动，若雷诺数再增大，便会产生更多振动模式。相空间中，相点运动轨迹愈益复杂，新诞生振动的尺度愈益减小。即初始时刻流动尺度较大，随时间推演，大尺度结构（例如大漩涡），会撕裂成小尺度结构。例如K-H不稳定性，初始乃整齐的大尺度结构，随着不稳定性发展，产生诸多小漩涡。自大尺度结构转变至小尺度结构，大尺度能量亦转移至小尺度，能量分散到细小的结构上。正如一行驶的列车突然散架，整列火车的动能会分散到各个车厢。大漩涡破损形成小漩涡，能量就分散了。如此自大尺度结构逐级向小尺度结构转移能量的过程便是级联过程。级联过程不停息，小尺度结构不断生成。直至尺度够小，乃至于小尺度结构的能量不足以应付粘性耗散，小尺度漩涡在粘性力作用下被彻底破坏，此时便不可再形成更小尺度结构，级联过程截断。流体能量通过级联过程向小尺度结构输运，最终在小尺度上被粘性消耗。简言之，粘性流体湍流级联过程并非无休止进行，而由于粘性作用被截断。理想流体无粘性，故而无论产生怎样小的结构，都不可被粘性消耗，级联过程无截止！小尺度结构不断诞生，不可休止。
第四回 涨落
何为流体？流体乃宏观模型。万物由微观粒子构成，若把微观粒子视作颗粒，万物乃离散的，而非连续的。宏观来看，分子原子不可见，分子原子之颗粒状结构不可感知，只可见分子原子组成的物体。然则流体模型假设所研究对象连续，显然不合乎万物由离散颗粒所构成之事实。故流体模型并非普遍适用于所有尺度，仅当尺度远大于分子平均自由程时适用。在此宏观尺度，宏观可测量物理量，例如能量动量，乃系宗平均值，涨落存在却不可感知。在此宏观尺度，可以经典力学方法研究物体运动，推得流体力学方程。上回提到，理想流体无粘性，故而无论产生怎样小的结构，都不可被粘性消耗，级联过程无截止。小尺度结构不断诞生，不可休止。由此生出一问题来，若尺度小于分子平均自由程，何如？在如此巨小尺度，分子的颗粒状结构和碰撞已明显可感，涨落显然。宏观流体力学方程已不再适用！欧拉方程以其无粘性，故不可自洽。无粘性不合乎物理事实。而如何处理小尺度过程？当以动力论（kinetic theory），而非流体力学。
第五回 无限
理想流体无粘，故而无论产生怎样小的结构，都不可被粘性消耗，级联过程无截止。小尺度结构不断诞生，不可休止。古典微积分可处理连续函数，而对此小尺度嵌套更小尺度的复杂结构具有困难。此种结构似套娃，无限嵌套的套娃。
第六回 计算
将欧拉方程差分，得差分方程，所得差分方程不显含粘性。可事实上，数值计算格式中隐含数值粘性。例如，激波理论上乃一平面，平面无体积。而在数值计算坐标格子中，激波显然不可不占据体积，激波少则亦须占一排格子。则在数值计算中，激波非理想平面，而是一些格子，激波有了厚度。这相当于解析理论中，由于粘性作用使激波变厚。这种由于离散而造成的相当于粘性的效果便是数值粘性。故严格说来，数值计算不可算理想流体，只可算粘性流体。数值计算中，粘性具有重要意义，若无粘性，数值计算结果可能不稳定。实际上，不可数值求解欧拉方程，而只可以雷诺数较大的粘性流体逼近理想流体。
从微分方程的理论上讲，两个都难啊。。但是难度所在的地方可能有不同。
（1）Compressible Euler Equation的理论比较完备。最重要的fact是，smooth solution（with some nicely prepared initial data在finite time会blow up--T.Sideris。由于Euler可以写成conservation law的形式，所以可以expect产生shock wave。但是高维守恒律的研究本来就很困难，因此multi-D Euler的weak solution如何提admissibility条件（熵条件）是很困难的。
----之前对sideris的结论的描述听起来有点misleading。我们只能说已知有一些smooth initial data决定的smooth solution有finite time blowup。能否提出一个multi-D compressible Euler的finite-time blowup/global in-time redularity的criterion是一个major open problem。
（2）Incompressible Euler：目前部分的研究集中在weak solution上。近年一大进展是关于Onsager conjecture的：Constantin-E-Titi（E=鄂维南）证明了如果弱解是Holder的，holder指标大于三分之一，那么弱解是唯一的。这个结论是purely mathematical的，但跟物理上的紊流有关：参见K41 theory，即kolmogorov在1941年提出的理论。另一方面，De Lellis-Szekelyhidi及他们的学生们利用gromov的convex integration technique（传奇数学家nash的C^1 isometric embedding定理与其关系密切），构造了holder指标小于a的无穷多的弱解。目前a的上限是1/5，距离onsager conjecture的1/3还有gap。
----2016年底Isett把指标a做到了1/3-epsilon，via refinement of the convex integration method。另外，感谢评论区的朋友Zhao的指正，我对onsager conjecture一词的用法是slightly abused的：包括了existence and “genericity” of “wild” weak solutions。
（3）Incompressible Navier Stokes。这个方程组有两个特点：从Navier-Stokes的角度上讲，因为存在diffusion term（ie laplacian），因此方程有parabolic equation 的特性，所以可以expect一些regularity结果；另一方面，由于incompressibility，流体的密度是不变的，因此有特殊的scaling property，而且压力可以直接由速度解出来（taking divergence to the momentum equation--the pressure solves a poisson equation）。
关于regularity结果的cornerstone是caffarelli-Kohn-Nirenberg的关于“好的”weak solution的partial regularity theorem：如果initial velocity是energy data（L^2 div-free)，那么存在一个epsilon，对于“suitable weak solution” v，如果v的local L^2 norm加上p（压力）的local L^｛3/2｝-norm 小于epsilon，则v在大多数（x，t）处是Holder的。“大多数”的意思是：singular set的（a parabolic version of the）Hausdorff dimension是小于等于5/3的。对于这个结果，林芳华、Michael Struwe等有简化和改进。
----另外，based on the partial regularity theory of C-K-N，Seregin-Sverak证明了：如果在whole space R^3里压力p有下界（不取到-infty），弱解是globally regular的（2010左右）。
另一方面：虽然L^2是physical的energy space，但是并不invariant under Navier-Stokes scaling。。而L^3或L^｛3，infty｝（弱L^3）是满足的。因此把initial data pose在这些空间上，可以应用椭圆/抛物方程中常用的blow up technique，也就是去在某个spacetime point附近zoom in一个解，得到的 functions在rescale后还是同一个方程的解。一个重要的结论是backward uniqueness of （nice）weak solutions for L^3 initial data--cf Escuriaza-Seregin-Sverak。
（4）compressible Navier-Stokes：这个是最“全”的navier-stokes方程组，因此也最难。对于polytropic gas压力满足p=ho^gamma，P-L. Lions解决了三维中gamma>9/5时weak solution的existence，E. Feireisl等人把gamma下界提升到了3/2。球对称情况下中国数学家江松-张平解决了gamma>1。近期Invent Math上有一个重要进展：Cheng Yu和Alexis Vasseur证明了三维compressible Navier Stokes Cauchy problem with large initial data的global existence，for gamma>1。但是该文章的方法需要两个viscosity coefficients其中的一个是ho的power（满足一个well-known的Bresch-Desjardins提出的条件）。一个重要的open problem是当两个viscosity coefficients都是常数的时候，是否还有global existence of weak solution，for large data and gamma>1。
